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<기초 통계학의 숨은 원리 이해하기>에서 발췌


3개의 카드가 뒤집어 놓여 있다. 1개의 카드에는 자동차, 나머지 2개의 카드

에는 바나나가 그려져 있다. 자동차를 고르면, 최신형의 자동차를 받을 수 있

. 하지만 바나나를 고르면 꽝이다. 기회는 1번 뿐이다. 이것은 미국의 유명한

퀴즈 프로그램에서 경품을 받을 수 있는지를 결정하는 과정이다.

당신은 카드 하나를 고심 끝에 지목한다. 생각할 수 있는 모든 계시와 직관

을 동원해서 결정한 것이다. 사회자는 그 카드를 뒤집어 보이기 전에, 나머지 두

개의 카드 중 하나를 뒤집어서 그것이 바나나임을 보여준다. ~, 다행이다.

그런데 사회자는 선택한 카드를 바꿀 수 있는 기회를 주겠다고 한다! , 카드를

바꿀 것인가?

카드를 바꾼다고 내가 자동차를 선택할 확률이 높아지겠는가? 믿기 힘들겠

지만 그렇다. 하지만 자신의 선택이 틀렸다고 낙심할 필요는 없다. 유명한 20

기의 수학자 폴 에르되스도 틀렸으니까.

그런데 왜 그럴까? 나는 이 문제를 엄밀한 확률 계산을 통해 보여줄 수도 있

. 하지만 그렇게 하는 것은 이 문제의 원리를 이해하는데 그리 도움이 되지 않

을 수도 있다. 한 번 직접 시도를 해보시라. 자신이 확률의 법칙을 제대로 적용하

는지를 평가하는 데에는 도움이 될 것이다.

좀더 직관적이고, 이해하기 쉬운 방법으로 설명을 해보자. 세 개의 카드가

있을 때, 당신이 자동차를 선택할 확률은 1/3이다. 우선 주목할 점은 당신의 선

택이 맞을 때보다, 틀릴 확률이 더 크다는 것이다. 당신의 선택이 틀렸다고 가정

해보자. 이제 사회자가 바나나인 카드를 보여준다. 그렇다면 나머지 하나는

동차임에 틀림이 없다! 여기서 다시 주목할 점은 사회자가 자동차를 보여주진

않는다는 점이다. 만약 당신이 어떤 선택을 했건 상관없이 사회자가 나머지 두

카드 중 하나를 보여준다면(그것이 자동차일 지라도!), 당신은 선택을 바꾸던지

바꾸지 않던지 자동차를 얻을 확률은 변하지 않는다. 물론 만약 사회자가 자동

를 보여준다면 선택을 바꿔도 결과는 바뀌지 않는다. 하지만 만약 사회자가

항상 바나나를 보여준다는 것을 안다면, 선택을 바꾸는 것이 좋다. 왜냐하면 당

신이 바나나를 선택했을 때, 사회자는 나머지 바나나를 보여줄 수 밖에 없고,

남은 하나의 카드가 자동차이기 때문이다. 그리고 애당초 당신의 첫 번째 선택

바나나일 확률이 자동차일 확률보다 두 배 크다.

좀더 명확하기 이해할 수 있도록 다음의 상황을 가정해 보자. 이제 세 개가

아니라 백 개의 카드가 뒤집어져 있다. 한 카드는 자동차이고, 나머지 99개의

카드는 바나나이다. 당신이 카드 하나를 선택한다. 사회자는 나머지 99개의 카

드 중에서 98개의 바나나를 뒤집어서 보여준다. 당신은 자동차를 선택하기 위

해 카드를 바꿀 것인가? 다음의 질문이 결정을 내리는데 도움을 줄 것이다. 처음

에 당신이 자동차를 선택할 확률은 얼마인가? 사회자는 언제나 자동차를 제외

하고 바나나카드만을 보여주는가?

수학자들은 수식을 좋아한다. 수식은 나름대로의 장점이 있다. 수식은 명확

하다. 그것은 지난 수 세기(혹은 수십 세기)의 수학적 결과를 적용시킬 수 있다는

것을 의미한다. 하지만 직관적인 이해에는 그다지 도움이 되지 않을 수 있다.

로는 문제의 핵심을 밝혀내는 것, 상황을 결정하는 중요한 요소를 찾아내는 것이

원리를 이해하는 지름길이다!

 

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